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Infinity
Bild: "Infinity"
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Ein Chemiker, ein Diplom Ingenieur, ein Bachelor of Science, ein Physiker und ein Mathematiker, haben die Aufgabe 2 mal 2 auszurechnen.

  • Der Chemiker nimmt eine Tabelle, fährt auf dieser Tabelle mit dem Finger zwei Spalten nach rechts und zwei Zeilen nach unten und findet an dieser Stelle die Zahl 4.
  • Der Ingenieur nimmt seinen Rechenschieber, bringt die beiden auf dem Rechenschieber aufgetragenen Zweien zur Deckung und peilt über den Daumen die Vier an.
  • Der Bachelor of Science nimmt einen Taschenrechner tippt 2 mal 2 ein und bekommt als Resultat 3,99999999999999. Dieser Wert wird in voller Länge sorgfälltig auf einem Blatt Papier notiert.
  • Der Physiker macht eine Reihenentwicklung, bricht diese nach dem zweiten Glied ab und bekommt als Resultat den Wert 3,8.
  • Der Mathematiker macht auch eine Reihenentwicklung, kann aber keine Konvergenz feststellen, und kann deshalb das Problem nicht lösen.
Einleitung Prolog

Diese Mathematik Seite, wurde als Formelsammlung für meine Physikseiten entwickelt.

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Inside the Borg-Cube
Bild: "Inside the Cube"
Matrizen Prolog

Matrizen

Unter einer Matrix versteht man eine rechteckige Anordnung von Zahlen aij. Eine Matrix ist vom Type (m, n) wenn sie m Zeilen und n Spalten hat. Mann spricht dann auch von einer Matrix.

m x n

Eine Matrix ist Quadratisch wenn die Zahl der Zeilen gleich der Zahl der Spalten ist. Also gilt:

Für Matrizen kann man ähnlich wie für reelle oder komplexe Zahlen eine Addition und eine Multiplikation definieren.

Matrizen Addition

Eine Matrix Addition ist nur möglich, wenn die beiden zu addierenden Matizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. Dies sei für die beiden Matrizen A und B der Fall. Dann kann man diese beiden Matrizen zu einer Matrix C addieren.

A + B = C.

Die einzelnen Elemente der Matrix C sind durch die Elemente von A und B wie folgt definiert:

aij + bij = cij

Matrizen Multiplikation

Bei der Produktbildung ist zu beachten, das eine Multiplikation von Matrizen in der Regel nicht kommutativ ist, also allgemein ist: .

Will ich nun das Produkt C der beiden Matrizen A und B berechen, so ist desweiteren zu beachten, das die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Das Matrizenprodukt der Matrizen A und B berechnet sich dann wie folgt:

Produkt

Transponierte Matrix

Die Transponierte einer Matrix, AT erhalte ich, in dem ich diese an der Diagonalen spiegele. Also die Zeilen und Spalten der Matrix A vertausche.

Transponierte Matrix

Beispiel:

Transponierte Matrix

Kronecker Symbol

Das Kronecker Symbol ist wie folgt definiert.

Kronecker Symbol

Kronecker Symbole werden in Formeln häufig zur Darstellung von Einheitsmatrizen verwendet.

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix 1 (Manchmal auch mit E oder I bezeichnet) ist eine quadratische Matrix, in der alle Diagonalenelemente gleich Eins sind und die übrigen Matrixelemente gleich Null. Die Einheitsmatrix läßt sich durch das Kroneckersymbol definieren.

Beispiel: Eine 3x3 Einheitsmatrix:

einheits Matrix

Wird eine Matrix mit der Einheitsmatrix multipliziert, so bleibt diese Matrix unverändert.

Reguläre Matrix

Wenn die Determinate einer quadratischen Matrix ungleich 0 ist, so bezeichnet man eine solche Matrix als eine reguläre Matrix.

Inverse Matrix

Sei A eine quadratische Matrix und sei die Determinate dieser Matrix ungleich null (reguläre Matrix), so existiert zu dieser Matrix eine Inverse Matrix.

inverse Matrix

Wird eine Matrix mit der zugeordneten inversen Matrix multipliziert, so ist das Ergebnis eine Einheitsmatrix.

Damit wir die Inverse Matrix aus einer gegebenen Matrix berechnen können, benötigen wir die folgenden Definitionen:

Minore

Die Elemente der Minorenmatrix mij der Matrix A erhält man, wenn man aus der Matrix A die Zeile i und die Spalte j streicht und dann von der verbleibenden Matrix die Determinate bildet.

Cofaktoren (Kofaktoren)

Mit der Hilfe der Minoren einer Matrix lassen sich die Cofaktoren (Kofaktoren) definieren

Cofaktoren

Berechnung der inversen Matrix

Die inverse Matrix läßt sich dann mit diesen Definitionen aus der Matrix A wie folgt berechnen.

Inverse Matrix

Dabei ist zu beachten, das bei der Cofaktoren-Matrix Zeilen und Spalten vertauscht sind. Also die Transponierte der Cofaktoren-Matrix, zu verwenden ist.

Vektorprodukte

Kreuzprodukt (äußeres Produkt) von Vektoren (Vektorprodukt)

Im dreidimensionalen Fall wird durch das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder ein Vektor erzeugt.

Kreuzprodukt

Mit dem Levi-Cita-Symbol schreibt sich das Kreuzprodukt als:

Kreuzprodukt Levi Cita

Der so erzeugte Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene. Der Betrag des Vektorproduktes gibt den Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms an.

Parallelogramm

Dabei ist θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren und .

Der über das Vektorprodukt erzeugte Vektor lässt sich also wie folgt darstellen:

Senkrecht

Dabei ist der Vektor der zu und senkrechte Einheitsvektor.

Kreuzprodukte im R n

Bisher haben wir nur Kreuzprodukte in R 3 betrachtet. Das Kreuzprodukt lässt sich auf beliebige Dimensionen des R n verallgemeinern. Bei n=3 war das Kreuzprodukt das Produkt von zwei Vektoren. Bei n=4 ist das Kreuzprodukt dann das Produkt von 3 Vektoren.

Kreuzprodukt n=4

Allgemein wird im R n das Produkt von n-1 Vektoren gebildet.

Kreuzprodukt n

Wichtige Matrizen in der Physik Prolog

Wichtige Matrizen in der Physik

Metrischer Tensor in Galilei-Koordinaten

Eta Matrix

In dieser Form hat der metrische Tensor die Signatur ( 1, -1, -1, -1 ). In anderen Zusammenhängen findet man auch die Signatur (-1, 1, ,1, 1)

Pauli-Matrizen, Spin-Matrizen

Pauli Matrix 1 Pauli Matrix 2 Pauli Matrix 3

Einheitsmatrix 2x2

Beim Rechnen mit Spin-Matrizen ist oft die folgende (2x2) Einheitsmatrix hilfreich:

Einheitsmatrix 2x2

Algebra der Pauli Matrizen

Pauli Matrix Algebra

Pauli Matrizen und Quaternionen

Pauli-Matrizen bieten die Möglichkeit die Basis für einen Quaternionen Raum aufzubauen.

Quaternionen Pauli Basis

Auch über die folgenden Pauli-Matrizen lassen sich Quaternionen darstellen:

i pauli quaternion j pauli quaternion k pauli quaternion

Die so definierten Matrizen haben die folgenden algebraischen Eigenschaften:

Quaternionen Pauli Basis

Dies entspricht der algebraischen Definition der Quaternionen.

Dirac-Matrizen - Gamma-Matrizen

Mit Hilfe der Pauli-Matrizen, lassen sich die diracschen Gamma-Matrizen wie folgt definieren:

Gamma Matrix 0 Gamma Matrix 1-3 (k=1,2,3)

Setzt man die Paulimatrizen ein, so ergibt sich dann für die Gamma-Matrizen die folgende Form:

Gamma Matrix 0 Gamma Matrix 1 Gamma Matrix 2 Gamma Matrix 3

Man beachte, dass in der älteren Literatur die Matrix Gamma 0 auch häufig als Gamma 4 bezeichnet wird.

Algebra der Gamma-Matrizen

Quaternionen Pauli Basis

Kovariante Form der Gamma-Matrizen

Quaternionen Pauli Basis

Mit Hilfe der vier oben definierten Gammamatrizen läßt sich eine weitere Matrix definieren, die in der Physik Anwendung findet. Diese wird als Gamma 5 bezeichnet.

Quaternionen Pauli Basis
Affine Koordinaten

Darstellung von Vektoren mit affinen Koordinaten

Darstellung von Vektoren mit Koordinaten eines schiefwinkligen Koordinatensystems

Verwendet man ein schiefwinkliges Koordinatensystem zu Darstellung eines Vektors so hat man zwei Möglichkeiten den Vektor in diesen Koordinatensystem darzustellen. Dies sind die kovariante- und die kontravariante Darstellung eines Vektors.

Bei kovarianten Koordinaten stehen die Indizes unten, bei kontravarianten Koordinaten stehen die Indizes oben. (Achtung! Nicht mit Potenzen verwechseln).

Kovariante Koordinaten:

Kovariante Koordinaten

Kontravarinate Koordinaten:

Kontravariante Koordianten

Im dreidimensionelen Raum besteht zwischen den kovarianten und den kontravarianten Basis-Vektoren die folgende Beziehung: Es seien: Basis Vektoren drei linear unabhängige Vektoren. Diese können als Basis des dreidimensionalen Raumes verwendet werden. Die dazu reziproken Basisvektoren werden wie folgt definiert:

Einheitsvektor 1 Einheitsvektor 2 Einheitsvektor 3

Unter Basis Vektoren versteht man das Spatprodukt der drei Vektoren Basis Vektoren.

Weitere Zusammenhänge zwischen kovarianten- und kontravarianten Darstellugen von Vektoren

Es seien die affinen Koordinaten zweier Vektoren a vektor und b-vektor im Koordinatensystemen basisgegeben.

Kontravariante Koordianten

Kontravariante Koordianten

Die Koordinaten haben die kontravariante Form.

Mit der Hilfe des Skalarproduktes dieser beiden Vektoren lassen sich dann weitere Eigenschaften herleiten.

Berechnung des Skalarproduktes

Kontravariante Koordianten

Die paarweisen Produkte der Koordinatenvektoren werden als metrischen Koeffizienten bezeichnet:

Kontravariante Koordianten

Die Matrix der metrischen Koeffizienten läßt sich dann wie folgt schreiben:

Kontravariante Koordianten

Das Skalarprodukt läßt sich mit Hilfe der Matrix g ij wie folgt darstellen:

Kontravariante Koordianten

Beim letzten Term ist die Einsteinsche Summenkonvention gültig. Über die Indizes in griechischen Buchstaben wird von 1 bis 3 summiert, wenn diese jeweils einmal als oberere und unterer Indize auftreten.

Für kovariante Koordinaten lautet die Entsprechende Formel für das Scalarprodukt wie folgt:

Kontravariante Koordianten

Wobei die g mn die metrischen Koeffizienten im System der reziproken Vektoren sind.

Diese hängen mit den Koeffizienten g mn über die folgende Beziehung zusammen:

kovariant to kontravariant

Dabei sind die A mn die Unterdeterminaten der im Nenner stehenden Determinate die durch das wegstreichen der Zeile und Spalte entsteht in der sich das Element g mn befindet entsteht.

Ist der Vektor a Vektor durch kovariante Koordinaten gegeben, der Vector b Vektor dagegen durch kontravariante Koordinaten, so ergibt sich das Skalarprodukt wie folgt:

kovariant mal kontravariant

Ist die Form der Vektoren genau entgegengesetzt, so ergibt sich der folgende Zusammenhang für das Skalarprodukt:

kontravariant mal kovariant

Damit ergeben sich dann die folgende Zusammenhänge:

Skalarprodukt Varianten

Daraus ergeben sich die folgenden Möglichkeiten der Umrechnung zwischen Kovarianter- und Kontravarianter Darstellung:

Umrechnung

Umrechnung

Nano Machine
Bild: "Nano Machine"
Tensoren
Gradient
Bild: "Gradient"
Vektoranalysis Prolog

Vektoranalysis

Am Anfang werden kartesische Koordinaten in drei Dimensionen angenommen. Die entsprechenen Aussagen werden dann in einem nächsten Schritt auf andere Koordinatensysteme verallgemeinert.

Nabla-Operator

Der Nabla-Differenzialoperator (Nabla-Operator) wird in kartesischen Koordinaten wie folgt definiert.

Nabla Operator

Der Nabla-Operator wird einerseits wie ein Vektor behandelt wirkt aber anderseits als Differenzialoperator, auf die rechts von ihm stehende Größe.

Anwendungen des Nabla-Operators

Mit der Hilfe des Nabla-Operators werde ich die Operationen Gradient, Divergenz und Rotation für kartesische Koordinaten definieren. Dabei wird der Nabla Operator auf ein scalares Feld Φ und ein Vektorfeld A angewendet. Da für Vektorfelder ein Äußeres- und ein Inneresprodukt definiert werden kann, lassen sich mit der Hilfe dieser Produkte und des Nabla Operators zwei Operationen definieren.

PHI

Vektor A

Gradient

Die Anwendung des Nabla-Operators auf ein scalares Feld ergibt ein Vektorfeld, dieses Vektorfeld wird als Gradient des Feldes bezeichnet. Dabei sind die Komponenten dieses Vektors, die partiellen Ableitungen des Feldes nach den einzelnen Koordinaten.

Gradient

Divergenz

Das innere oder scalare Produkt des Nabla-Operators mit einem Vectorfeld ergibt ein scalares Feld, die Divergenz des Vectorfeldes.

Divergenz

Rotation

Das äußere- oder Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld ergibt ein Vektorfeld, dieses Vektorfeld bezeichnet man als Rotation.

Rotation

Die einzelnen Komponeten des Rotationsvektors lassen sich am übersichtlichsten über die folgende Determinante bestimmen.

Rotation

Mit dieser Determinate lassen sich die Komponeten des Vektors rot(A) wie folgt bestimmen:

Rotation

Rotation

Rotation

Formelsammlung - Anwendung des Napla-Operaturs auf die Produkte von Feldern

Durch die Anwendung des Nabla-Operators auf das Produkt von Feldern ergeben sich die folgenden Formeln

Rotation

Rotation

Rotation

Rotation

Rotation

Rotation

Mehrfache Anwendung des Nabla-Operators

Rotation

Rotation

Laplace Operator

Der Laplace Operator ist in kartesischen Koordinaten wie folgt definiert:

Rotation

Für den Lapalace Operator gelten die folgenden Relationen:

Rotation

Rotation

Divergenz
Bild: "Divergenz"
Rotation
Bild: "Rotation"
Integralsätze Prolog

Integralsätze

Gaußscher Satz

Der Gaußsche Satz gibt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes innerhalb eines Volumens und dem Fluß des Vektorfeldes durch die Oberfläche F dieses Volumens an. Der Vektor ist ein nach aussen gerichtetes Flächenelement der Oberfläche F die das Volumen V umgibt.

Divergenz

Stokesscher Satz

Der Stokessche Satz ermöglicht die Umwandlung eines Flächenintegrals in ein Kurvenintegral.

Im erten Integral wird über die Fläche F integriert. Im zweiten Integral, einem Kurvenintegral wir über den Rand R dieser Fläche integriert.

Divergenz

Hilbert
Bild: "Gate"
Gradient
Bild: "Gradient 2"
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12. Februar 2012 Version 1.1
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