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Primzahlensuche
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Primzahlen - Prime Numbers

Primzahlen P sind natürliche Zahlen, welche man nur durch eins und sich selbst, ohne Rest teilen kann.

Beispiel: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Alle Primzahlen größer 2 sind ungerade, also von der Form 2k+1. Siehe Tabelle auf der rechten Seite.

Ist 1 eine Primzahl?

Ich habe die Primzahlen hier so definiert, das 1 eine Primzahl ist. In der Mathematik werden in der Regel die Primzahlen aber so definiert, das 1 keine Primzahl ist! Man hat es dann bei abstrakten Beweisen und bei der Formulierung von Sätzen aus der Zahlentheorie leichter.

Beispiel: Die Primfaktorenzerlegung einer ganzen Zahl ist nicht eindeutig wenn 1 eine Primzahl ist:

6 = 2*3 = 1*2*3 = 1*1*2*3 .. etc.

Folglich hat die 1 auch keine Primfaktorenzerlegung, da sie keinen Faktor enthält, der eine Primzahl ist.

Menge der Primzahlen

Für die Menge der Primzahlen wird in der Mathematik das folgende Symbol verwendet:

Primzahlenfunktion

Die 1 ist bei dieser Definition keine Primzahlen.

Sieb des Eratosthenes

Das Sieb des Eratosthenes ist eine effektive Methode um die Primzahlen, in einem Bereich von 1 bis n, zu bestimmen. Dabei werden alle nicht Primzahlen aus diesem Bereicht entfernt und die Primzahlen bleiben übrig. Diese Verfahren wird für die Bestimmung der Primzahlen in den Tabellen auf dieser Seite angewendet.

Es gibt unendlich viele Primzahlen - (Satz des Euklid)

Kennt man von 1 bis Pn alle Primzahlen, so ist das Produkt dieser Primzahlen plus 1, wieder eine Primzahl.

P = P1P2 ... Pn + 1

Zwischen P und Pn können weitere Primzahlen liegen. Dies ist also keine Formel, mit der sich alle Primzahlen berechnen lassen. Man muss also jede einzelne Zahl darauf hin untersuchen, ob diese sich nur durch 1 oder sich selber teilen läßt, um festzustellen ob es eine Primzahl ist.

Beispiele:

2 * 3 + 1 = 7
2 * 3 * 5 + 1 = 31
2 * 3 * 5 * 7 + 1=211
2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1=2311

Mit Hilfe des Produktes der ersten n Primzahlen hat man eine Möglichkeit die Lücken zwischen Primzahlen zu Visualisieren. Ordnet man z.B die natürlichen Zahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 2310 an so werden die Lücken zwischen den einzelnen Primzahlen deutlich.

Siehe auch den Abschnitt: "Rechteckige Anordnung der Primzahlen", auf dieser Seite.

Primzahlenverteilung - Prime Number Distribution

In den Tabellen auf diser Seite habe ich die ersten natürlichen Zahlen auf unterschiedliche Art angeordnet. Primzahlen habe in diesen Tabellen einen grauen Hintergrund. Damit lassen sich Muster in der Primzahlenverteilung leichter erkennen.

Primfaktorenzerlegung

Ganze Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen (Fundamentalsatz der Zahlentheorie). Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Beispiel: 1488 = 2*2*2*2*3*31;

Quadratische Anordnung der Primzahlen - Square Pattern

Primzahlen Tabellen - Rechteckige Anordnung der Primzahlen - Rectangle Pattern

Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in verschiedenen Tabellen, mit unterschiedlicher Breite dargestellt. Je nach Tabelle ergeben sich unterschiedliche Muster. Achtung bei großen Tabellen können ältere Browser Probleme bei der Berechnung der Tabellen bekommen!

Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 30 Zahlen dargestellt. Man sieht deutlich, das die Primzahlen nur noch in bestimmten Spalten auftreten.

Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 210 Zahlen dargestellt. Auch hier sieht man, das die Primzahlen nur in bestimmten Spalten auftreten.

Die nachfolgende Tabelle ist die größte hier verfügbare Tabelle mit Primzahlen.

Dreieck - Triangle Pattern

Anordnung der Primzahlen in dreieckigen Tabellen.

Berge - Mountain Pattern - Gaps Between Primes

Große Lücken zwischen den Primzahlen lassen sich über die folgenden Anordnungen "Mountain Pattern" visualisieren.

Mehr Details sieht man auf den folgenden Seiten:

Spirale - Spiral Pattern - Ulam Spiral

In der nachfolgenden Tabelle sind die Zahlen spiralförmig angeordnet. Die Eins steht im Zentrum und die anderen Zahlen werden, in aufsteigender Reihenfolge, um die Eins herum angeordnet. Dabei ergeben sich Muster in der Primzahlenverteilung.

Eine solche Sprirale wurde erstmals 1963 von dem polnischen Mathematiker Stanislaw Marcin Ulam entdeckt.

Mersenne-Zahlen Mersenne-Numbers

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form: M = 2n-1.

Mersenne-Zahlen eignen sich besonders für die Suche nach großen Primzahlen.

Die derzeit größte, bekannte Primzahl 243.112.609 - 1 (entdeckt am 23. August 2008), ist eine Mersenne-Primzahl

Wenn die Mersenne-Zahl selber eine Primzahl MP ist, so folgt daraus, das auch n eine Primzahl p ist. Es gilt also: MP = 2p-1 wenn MP eine Primzahl ist. Wenn nur p eine Primzahl ist so folgt daraus nicht, dass die Mersennezahl MP eine Primzahl ist. Siehe Tabelle:

Goldbachsche Vermutung

Starke Goldbachsche Vermutung

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

Schwache Goldbachsche Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden.

Gilbreaths Vermutung - Gilbreath's Conjecture

Gilbreaths Vermutung ist benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Norman L. Gilbreath. Im Englischen auch bekannt als "Gilbreath's Conjecture"

Gilbreath berechnete eine Tabelle mit der Hilfe von Primzahlen. In der ersten Reihe der Tabelle schrieb er die Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge nieder. In der zweiten Reihe notierte der die Differenzen zwischen den Primzahlen der ersten Zeile. In den darauffolgenden Zeilen wurden die Beträge der Differenzen der vorherigen Zeile notiert. Dabei zeigte sich, dass in der ersten Spalte der Zeilen mit den Differenzen immer eine Eins steht.

Niemand konnte bisher eine Ausnahme von dieser Eigenschaft finden, obwohl mehrere Milliarden Zeilen mit der Hilfe von Computern untersucht wurden. In der ersten Zeile stand immer eine Eins. Ein Beweis für diese Vermutung, konnte bis heute noch nicht gefunden werden.

Auf der folgenden Seite gibt es eine größere Tabelle mit mehr Primzahlen, in dehnen die Struktur der Differenzbildung detailliert dargestellt wird.

Die Verteilung der Nullen bei der Differenzbildung zeigen interessante Muster, die an Muster erinnern, die mit Zellulären-Automaten erzeugt werden.

Auf der folgenen Seite gibt es eine größere Darstellung dieser Muster. Achtung, die Berechnung der Muster kann etwas länger dauern!

Riemannsche Vermutung

Riemannsche Zetafunktion

Die Riemannsche Zetafunktion ist für komplexe Zahlen s = x + iy wie folgt definiert:

Riemasche Zetafunktion

Die Summe konvergiert wenn der Realteil von s größer als 1 ist Re(s)>1. Die Riemannsche Zetafunktion besitzt für den Wert s = 1 eine Polstelle. Das heißt für diesen Wert ist die Funktion nicht definiert.

Eine wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zetafunktion ist ihre Beziehung zu den Primzahlen. Über die Eulersche Produktentwicklung gibt es eine alternative Darstellungsmöglichkeit der Riemannschen Zetafunktion. Bei dieser Darstellung werden die Primzahlen bei der Entwicklung der Funktion verwendet.

Riemasche Zetafunktion

Dabei wir das Produkt über alle Primzahlen gebildet (alle p aus der Menge kritische Gerade).

Riemannsche Zetafunktion und Eulerscher Gammafunktion

Mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion und der Eulerschen Gammafunktion läßt sich die folgende Funktionalgleichung aufstellen:

zeta gamma funktion

Mit der Hilfe von Funktionalgleichungen ist es möglich den Definitionsbereich der Riemanschen Zetafunktion auf die gesampte Komplexe Ebene, (mit Ausnahme der Polstelle bei s = 1) zu erweitern. Die Riemansche Zetafunktion wird durch diese Erweiterungen zu einer meromorphen Funktion.

An den Stellen wo auf der linken Seite des Ausdrucks der Wert s steht, steht auf der rechten Seite der Wert 1 - s. Man beachte die Symmetrie dieser Funktionalgleichung um den Wert s = 1/2!

Riemansche Vermutung

Abgesehen von den sogenanten trivialen Nullstellen der Riemanschen Zetafunktion bei s = -2, -4, -6, -8, ..., befinden sich alle weiteren Nullstellen auf einer einzigen Geraden in der komplexen Ebene. Diese Gerade wird als kritische Gerade bezeichnet. Diese Gerade ist dadurch definiert, das ihr Realteil immer gleich 1/2 ist.

Kritische Gerade: kritische Gerade

Ein Beweis für diese Aussage steht bis heute noch aus.

Die Primzahlenfunktion

Die Primzahlenfunktion gibt die Anzahl der Primzahlen an, die kleiner als eine positive reele Zahl x sind.

Primzahlenfunktion

Übersicht

Edersee
Bild: "Edersee"
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4. April 2014 Version 3.0
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