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Primzahlen - Prime Numbers
Primzahlen P sind natürliche Zahlen, welche man nur durch eins und sich selbst, ohne Rest teilen kann.
Beispiel: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Alle Primzahlen größer 2 sind ungerade, also von der Form 2k+1.
Siehe Tabelle auf der rechten Seite.
Ist 1 eine Primzahl?
Ich habe die Primzahlen hier so definiert, das 1 eine Primzahl ist.
In der Mathematik werden in der Regel die Primzahlen aber so definiert, das 1 keine Primzahl ist!
Man hat es dann bei abstrakten Beweisen und bei der Formulierung von Sätzen aus der Zahlentheorie leichter.
Beispiel: Die Primfaktorenzerlegung einer ganzen Zahl ist nicht eindeutig wenn 1 eine Primzahl ist:
6 = 2*3 = 1*2*3 = 1*1*2*3 .. etc.
Folglich hat die 1 auch keine Primfaktorenzerlegung, da sie keinen Faktor enthält, der eine Primzahl ist.
Menge der Primzahlen
Für die Menge der Primzahlen wird in der Mathematik das folgende Symbol verwendet:
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist eine effektive Methode um die Primzahlen, in einem
Bereich von 1 bis n, zu bestimmen. Dabei werden alle nicht Primzahlen aus diesem Bereicht berechnet und entsprechend markiert.
Übrig bleiben die Primzahlen als nicht markierte Zahlen. Diese Verfahren wird für die Bestimmung der Primzahlen in
den Tabellen auf dieser Seite angewendet.
Es gibt unendlich viele Primzahlen - (Satz des Euklid)
Kennt man von 2 bis Pn alle Primzahlen, so ist das Produkt dieser Primzahlen plus 1,
durch keine der Primzahlen von P1 bis Pn teilbar:
En = P1P2 ... Pn + 1
Man nennt solche Produkte auch Euklidische Zahlen.
Gäbe es nur endlich viele Primzahlen so wäre die Euklidische Zahl aller dieser Primzahlen wieder eine Primzahl. Also ein Widerspruch.
Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen.
Zwischen der Primzahl Pn und der Euklidischen Zahl En können weitere Primzahlen liegen.
Deshalb muss die Euklidische Zahl En auch selber keine Primzahl sein,
da diese auch ein Produkt aus Primzahlen sein kann, die zwischen Pn und En liegen.
Nur durch Primzahlen die kleiner gleich Pn sind ist die Euklidische Zahl En nicht teilbar.
Dies ist also keine Formel, mit der sich immer Primzahlen berechnen lassen.
Man muss also auch jede einzelne Euklidische Zahl En darauf hin untersuchen, ob es eine Primzahl ist.
Beispiele für Euklidische Zahlen:
2*3+1
=
7
2*3*5+1
=
31
2*3*5*7+1
=
211
2*3*5*7*11+1
=
2311
Eine Tabelle der ersten 100 Euklidischen Zahlen findet man hier:
Mit Hilfe des Produktes der ersten n Primzahlen hat man eine Möglichkeit die Lücken zwischen Primzahlen zu
Visualisieren. Ordnet man z.B die natürlichen Zahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 2310 an so werden
die Lücken zwischen den einzelnen Primzahlen deutlich.
In den Tabellen auf diser Seite habe ich die ersten natürlichen Zahlen
auf unterschiedliche Art angeordnet.
Primzahlen habe in diesen Tabellen einen grauen Hintergrund.
Damit lassen sich Muster in der Primzahlenverteilung leichter erkennen.
Ganze Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen (Fundamentalsatz der Zahlentheorie). Diese Zerlegung ist bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in verschiedenen Tabellen, mit unterschiedlicher Breite dargestellt.
Je nach Tabelle ergeben sich unterschiedliche Muster. Achtung bei großen Tabellen können ältere Browser Probleme bei der Berechnung der Tabellen
bekommen!
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 30 Zahlen dargestellt.
Man sieht deutlich, das die Primzahlen nur noch in bestimmten Spalten auftreten.
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 210 Zahlen dargestellt. Auch hier sieht man, das die Primzahlen
nur in bestimmten Spalten auftreten.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Zahlen spiralförmig angeordnet.
Die Eins steht im Zentrum und die anderen Zahlen werden, in aufsteigender Reihenfolge, um die Eins
herum angeordnet. Dabei ergeben sich Muster in der Primzahlenverteilung.
Eine solche Sprirale wurde erstmals 1963 von dem polnischen Mathematiker Stanislaw Marcin Ulam entdeckt.
Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form: M = 2n-1.
Mersenne-Zahlen eignen sich besonders für die Suche nach großen Primzahlen.
Die derzeit größte, bekannte Primzahl 243.112.609 - 1 (entdeckt am 23. August 2008),
ist eine Mersenne-Primzahl
Wenn die Mersenne-Zahl selber eine Primzahl MP ist, so folgt daraus, das auch n eine Primzahl p ist.
Es gilt also: MP = 2p-1 wenn MP eine Primzahl ist. Wenn nur p eine Primzahl ist
so folgt daraus nicht, dass die Mersennezahl MP eine Primzahl ist. Siehe Tabelle:
Es gibt Polynome die in weiten Bereichen mit einer hohen dichte Primzahlen erzeugen.
Das Bekannteste ist dass von von Leonhard Euler entdeckte Polynome:
p = n2+n+41.
Dieses Polynom produziert kontinuierlich Primzahlen für Werte von n im Bereich: n = 0..39.
Der erste Wert von n, für den dieses Polynom keine Primzahl erzeugt, ist n= 40.
402+40+41 = 1681 = 41⋅41.
Ein ähnliches Polynom, welches ebenfalls auf Euler zurück geht ist:
Mit der Mills' Konstanten A lassen sich Primzahlen berechnen.
floor(A3n) ist eine Primzahl.
Der genaue Wert der Konstante A ist unbekannt beträgt aber etwa 1,3063778838630806904686144926...
Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel ist, dass die Riemannsche Vermutung wahr ist.
Abrundungsfunktion
Die floor Funktion einer reellen Zahl, liefert die nächste ganze Zahl die kleiner ist als die gegebene reelle Zahl. Beispiel: floor(3.99) = 3;
Goldbachsche Vermutung
Starke Goldbachsche Vermutung
Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.
Schwache Goldbachsche Vermutung
Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden.
Gilbreaths Vermutung - Gilbreath's Conjecture
Gilbreaths Vermutung ist benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Norman L. Gilbreath.
Im Englischen auch bekannt als "Gilbreath's Conjecture"
Gilbreath berechnete eine Tabelle mit der Hilfe von Primzahlen. In der ersten Reihe der Tabelle schrieb er die
Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge nieder. In der zweiten Reihe notierte der die Differenzen zwischen den Primzahlen der ersten Zeile.
In den darauffolgenden Zeilen wurden die Beträge der Differenzen der vorherigen Zeile notiert. Dabei zeigte sich, dass in der ersten
Spalte der Zeilen mit den Differenzen immer eine Eins steht.
Niemand konnte bisher eine Ausnahme von dieser Eigenschaft finden, obwohl mehrere Milliarden Zeilen mit der Hilfe von Computern untersucht wurden.
In der ersten Zeile stand immer eine Eins. Ein Beweis für diese Vermutung, konnte bis heute noch nicht gefunden werden.
Auf der folgenden Seite gibt es eine größere Tabelle mit mehr Primzahlen, in dehnen die Struktur der Differenzbildung
detailliert dargestellt wird.
Die Riemannsche Zetafunktion ist für komplexe Zahlen s = x + iy wie folgt definiert:
Die Summe konvergiert wenn der Realteil von s größer als 1 ist Re(s)>1. Die Riemannsche Zetafunktion besitzt für den Wert s = 1 eine Polstelle.
Das heißt für diesen Wert ist die Funktion nicht definiert.
Eine wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zetafunktion ist ihre Beziehung zu den Primzahlen. Über die Eulersche Produktentwicklung gibt es eine alternative Darstellungsmöglichkeit der Riemannschen Zetafunktion.
Bei dieser Darstellung werden die Primzahlen bei der Entwicklung der Funktion verwendet.
Dabei wir das Produkt über alle Primzahlen gebildet (alle p aus der Menge ).
Riemannsche Zetafunktion und Eulerscher Gammafunktion
Mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion ζ(x) und der Eulerschen Gammafunktion Γ(x) läßt sich die folgende Funktionalgleichung aufstellen:
Mit der Hilfe von Funktionalgleichungen ist es möglich den Definitionsbereich der Riemanschen Zetafunktion auf die gesampte Komplexe Ebene, (mit Ausnahme der Polstelle bei s = 1) zu erweitern.
Die Riemansche Zetafunktion wird durch diese Erweiterungen zu einer meromorphen Funktion.
An den Stellen wo auf der linken Seite des Ausdrucks der Wert s steht, steht auf der rechten Seite der Wert 1-s. Man beachte die Symmetrie dieser Funktionalgleichung um den Wert s = 1/2!
Abgesehen von den sogenanten trivialen Nullstellen der Riemanschen Zetafunktion bei s = -2, -4, -6, -8, ...,
befinden sich alle weiteren Nullstellen auf einer einzigen Geraden in der komplexen Ebene.
Diese Gerade wird als kritische Gerade bezeichnet. Diese Gerade ist dadurch definiert, das ihr Realteil immer gleich 1/2 ist.
Kritische Gerade:
Ein Beweis für diese Aussage steht bis heute noch aus.
Triviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
Die Bernoulli Zahlen Bn sind gleich Null für alle ungerade Werte von n, ausser n = 1.
Zwischen den Bernoulli Zahlen und der Riemannschen Zetafunktion beteht die folgende Beziehung für ganze negative Argumente der Zetafunktion ζ(s).
Durch diese Bezeihung wird die Zetafunction gleich Null für alle geraden negativen Argumente ( s = -2, -4, -6, ...).
Die Primzahlfunktion π(x)
Die Primzahlfunktion π(x) gibt die Anzahl der Primzahlen an, die kleiner oder gleich eine positive reele Zahl x sind.
Primzahlfunktion π(x) von 0 bis 25
Primzahlfunktion π(x) von 0 bis 1000
Primzahlsatz
Die Primzahlfunktion π(x) läßt sich durch die Funktion x/ln(x) approximieren.
Eine bessere Approximation liefer der Integrallogarithmus.
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