Primzahlen erzeugende Polynome

Dirichletscher Primzahlsatz

Sind die natülichen Zahlen a,b teilerfremd. So enthält die Folge a+n⋅b unendlich viele Primzahlen. (Dabei ist n eine positive ganze Zahl).

a, a+b, a+2b, a+3b, ...

Bunjakowski-Vermutung

Bunjakowski stellte die folgenden Anforderungen an ein Polynom f(n) mit ganzzahligen Koeffizienten, damit dieses beliebig viele Primzahlen erzeugt.

• Der führenden Koeffizient muss positiv sein.
• Das Polynom muss irreduziebel sein. Das heist f(n) ist nicht von der Form g(n)h(n).
• Die Werte, welche das Polynom f(n) liefert, haben keinen gemeinsamen Faktor. Das heißt sie sind teilerfremd (relativ prim). Das heißt der größte gemeinsame Teiler ggT der Folge f(n) ist 1.
  Um nachzuweisen, daß diese Aussage zutrifft, ist es ausreichend zwei Werte m,n mit m≠n zu finden, für die f(n) und f(m) relativ prim sind. Dann können die Elemente der Folge f(n) keinen ggT≠1 haben, sonst wäre dieser Wert auch gemeinsamer Teiler von f(n) und f(m).

Beispiel

Beispiele für ein solche Polynome sind:

f(n)=n²+1

f(n)=n²-n-1

f(n)=n²-79n+1062

Primzahlen Zwillinge

Eine notwendige Vorausetzung dafür, daß Primzahlen Zwillinge auftreten, ist daß die Primzahlen P_n bzw. P_n+2 in den Zahlenfolgen 6*n-1 und 6+n+1 sind und den gleichen Wert n haben. Siehe die Tabellen für 6*n-1 und 6+n+1.

Mehr über Primzahlen Zwillinge auf der folgenden Seite:

Primzahlen-Zwillinge

Eulers Polynome zum Erzeugen von Primzahlen

p=n²+n+41

Für Zahlen von n im Bereich von 0 bis 39 erzeugt diese Formel nur Primzahlen.

p=n²-n+41

Für Zahlen von n im Bereich von 1 bis 40, erzeugt diese Formel dieselben Primzahlen, wie das vorhergehende Polynom. Im Allgemeinen erzeugt dieses Polynom für n+1 die selben Zahlen, wie das vorhergehende Polynom für die Werte n.